تیم نجات گروگان (HRT) | مأموریت: شکستن قفلهای ریاضی و استخراج گروگان
فرمانده، ما موقعیت گروگان را در یک سلول انفرادی در طبقهٔ زیرزمین شناسایی کردهایم. روی درِ سلول، یک قفل الکترونیکی با یک نمایشگر دیجیتال نصب شده که روی آن نوشته شده: $$ x + 6 = 15 $$. این یک معادلهٔ درجه یک ساده است. دشمن با این کار میخواهد فقط کسانی که منطق ریاضی بلدند بتوانند وارد شوند.
ببینید، در هر معادله، یک مجهول (در اینجا $$ x $$) وجود دارد که ما باید مقدار آن را پیدا کنیم. هدف اصلی ما در هر عملیات نجات ریاضی این است که $$ x $$ را تنها کنیم — یعنی آن را در یک طرف معادله قرار دهیم و هر چیز دیگری را به طرف دیگر منتقل کنیم.
در معادلهٔ $$ x + 6 = 15 $$، عدد ۶ به $$ x $$ چسبیده است (با علامت +). برای خلاص شدن از شر این ۶، باید آن را خنثی کنیم. تنها راه خنثیسازی جمع، استفاده از عمل معکوس آن یعنی تفریق است. اما یک قانون آهنین وجود دارد که اگر آن را زیر پا بگذاریم، کل عملیات لو میرود:
پس ما ۶ را از هر دو طرف کم میکنیم:
در سمت چپ، $$ +6 -6 $$ یکدیگر را خنثی میکنند و فقط $$ x $$ باقی میماند. در سمت راست هم $$ 15 - 6 = 9 $$ میشود. پس:
گروگان در سلولی با کد ۹ نگهداری میشود! ما اولین قفل را شکستیم.
حالا فرض کنید روی قفل نوشته شده: $$ x - 4 = 10 $$. اینبار دشمن ۴ را از $$ x $$ کم کرده. برای خنثیسازی تفریق، باید از عمل معکوس آن یعنی جمع استفاده کنیم. پس ۴ را به هر دو طرف اضافه میکنیم:
دقت کردی؟ همیشه عمل معکوس را انجام بده: به جای جمع، تفریق؛ به جای تفریق، جمع. و مهمتر از همه، همیشه این کار را روی هر دو طرف انجام بده.
روی قفل نوشته شده: $$ x + 9 = 20 $$. مقدار $$ x $$ را وارد کن تا در باز شود.
ما از سلول اول عبور کردیم، اما گروگان را به سلول دوم منتقل کردهاند. اینبار قفل پیچیدهتر است. روی آن نوشته شده: $$ 3x = 21 $$. این یعنی چی؟ یعنی «سه برابرِ $$ x $$ مساوی است با ۲۱». به عدد ۳ که کنار $$ x $$ چسبیده، ضریب میگوییم. این ضریب مثل یک زنجیر، $$ x $$ را اسیر کرده است.
برای آزاد کردن $$ x $$ از شر این ضریب، باید از عمل معکوس ضرب استفاده کنیم: تقسیم. اگر $$ 3x $$ داریم (یعنی $$ 3 \times x $$)، باید هر دو طرف را بر ۳ تقسیم کنیم:
زنجیر پاره شد و $$ x = 7 $$ به دست آمد.
حالا فرض کنید قفل این شکلی باشد: $$ \frac{x}{4} = 5 $$. این یعنی $$ x $$ تقسیم بر ۴ برابر ۵ شده. برای خنثیسازی تقسیم، باید هر دو طرف را در ۴ ضرب کنیم:
خلاصهٔ تاکتیک: برای خنثیسازی ضریب، تقسیم کن؛ برای خنثیسازی مخرج، ضرب کن. و باز هم تأکید میکنم: هر دو طرف!
قفل جدید: $$ 4x = 32 $$. $$ x $$ را پیدا کن و زنجیر را پاره کن.
دشمن از نفوذ ما باخبر شده و قفلها را مقاومتر کرده است. حالا با معادلهای روبرو هستیم که هم جمع/تفریق دارد و هم ضرب/تقسیم: $$ 2x + 3 = 11 $$. اینجا دیگر یک مرحله کافی نیست و باید دو مرحله عملیات انجام دهیم.
کلید موفقیت در این معادلات، ترتیب معکوس عملیات است. ما باید اولویت را به جمع/تفریق بدهیم (یعنی عددی که تنهاست)، و بعد سراغ ضریب برویم. چرا؟ چون اگر اول ضریب را از بین ببریم، محاسباتمان کسری و پیچیده میشود. اما اگر اول عدد تنها را خنثی کنیم، همه چیز ساده پیش میرود.
مرحله ۱: حذف +3 (عدد تنها)
۳ را از هر دو طرف کم میکنیم: $$ 2x + 3 - 3 = 11 - 3 \Rightarrow 2x = 8 $$
مرحله ۲: حذف ضریب ۲
هر دو طرف را بر ۲ تقسیم میکنیم: $$ \frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \Rightarrow x = 4 $$
تمام! دیدی چقدر تمیز و بیدردسر بود؟ حالا اگر معادله این بود: $$ 5x - 2 = 13 $$. اول ۲- را با اضافه کردن ۲ به هر دو طرف خنثی میکنیم ($$ 5x = 15 $$)، سپس بر ۵ تقسیم میکنیم ($$ x = 3 $$).
قفل: $$ 5x + 2 = 17 $$. گروگان پشت این در است. $$ x $$ را بیاب.
این خطرناکترین سناریویی است که تا حالا با آن روبرو شدهایم. دشمن معادلهای طراحی کرده که در آن $$ x $$ در هر دو طرف حضور دارد: $$ 5x + 3 = 2x + 12 $$. این مثل یک کمین دوطرفه است که دشمن سعی دارد با پخش کردن مجهولها ما را گیج کند.
اما نگران نباش. ما یک تاکتیک بسیار مؤثر به نام انتقال (Transposition) داریم. قاعدهٔ این تاکتیک ساده است: ما میخواهیم تمام جملههای شامل $$ x $$ را به یک طرف (معمولاً چپ) و تمام اعداد را به طرف دیگر (معمولاً راست) ببریم.
بیایید همین معادله را گامبهگام حل کنیم:
گام ۱: انتقال $$ 2x $$ از راست به چپ. علامت $$ 2x $$ مثبت است، پس با انتقال به چپ، تبدیل به $$ -2x $$ میشود: $$ 5x - 2x + 3 = 12 $$
گام ۲: انتقال ۳ از چپ به راست. علامت ۳ مثبت است، پس با انتقال به راست، تبدیل به $$ -3 $$ میشود: $$ 3x = 12 - 3 $$
گام ۳: سادهسازی. $$ 3x = 9 $$. حالا طبق معمول، بر ۳ تقسیم میکنیم: $$ x = 3 $$.
نکتهٔ تکمیلی: همیشه بعد از انتقال، جملات متشابه را ساده کن. اینجا $$ 5x $$ و $$ -2x $$ با هم $$ 3x $$ شدند و $$ 12 $$ و $$ -3 $$ هم $$ 9 $$ شدند.
معادله: $$ 4x + 1 = 2x + 7 $$. پس از انتقال جملات، معادلهٔ سادهشده (به صورت LHS = RHS) را بنویس. (راهنمایی: فقط انتقال بده، هنوز حل نهایی نکن.)
ما به طبقهٔ آخر رسیدهایم، جایی که گروگان پشت یک درِ فولادی با یک قفل رمزدار نگهداری میشود. روی قفل نوشته شده: $$ 2(x - 4) = 10 $$. اینجا یک پرانتز وجود دارد که مثل یک جعبهٔ سیاه عمل میکند. ما باید قبل از هر چیز این جعبه را باز کنیم.
عملیات باز کردن پرانتز را توزیع (Distribution) مینامیم. به این معنی که عدد بیرون پرانتز (اینجا ۲) را در تکتک جملات داخل پرانتز ضرب میکنیم. این درست همان تاکتیکی است که در درس نهم («عملیات سنگرشکن») فرا گرفتیم.
مرحله ۱: توزیع. $$ 2(x - 4) = 2x - 8 $$. پس معادله به این شکل درمیآید: $$ 2x - 8 = 10 $$
مرحله ۲: حالا مثل یک معادلهٔ دو مرحلهای عمل میکنیم. اول $$ -8 $$ را با اضافه کردن ۸ به هر دو طرف خنثی میکنیم: $$ 2x = 18 $$
مرحله ۳: حذف ضریب. تقسیم بر ۲: $$ x = 9 $$
روی در نوشته شده: $$ 3(x + 5) = 27 $$. $$ x $$ را پیدا کن تا در فولادی باز شود.
$$ 4(x - 3) = 8 $$. با دقت پرانتز را باز کن و $$ x $$ را بیاب.
با اسلایدرهای a و b، معادلهٔ $$ ax + b = 0 $$ را شبیهسازی کن و ببین چطور با تغییر b، $$ x $$ جابجا میشود.
معادله: 2x + 3 = 0 → حل: x = -1.5
پس از انتقال در معادلهٔ $$ 7x - 2 = 4x + 10 $$، ضریب $$ x $$ در معادلهٔ سادهشده چند است؟
اگر معادله $$ 2x + \_\_ = 10 $$ جواب $$ x = 3 $$ داشته باشد، عدد داخل جای خالی چیست؟
معادلهٔ $$ 4(x - 1) = 2x + 6 $$. فقط ۲۰ ثانیه فرصت داری $$ x $$ را پیدا کنی!
20
پیام شنودشده: «عددی را از ۱۰ کم کن، مساوی ۳ میشود». معادله را بنویس و حل کن (مقدار عدد را بگو).
گروگان نجات یافته! مقدار $$ x $$ که معادلهٔ $$ 2x + 4 = 12 $$ را حل میکند، به هلیکوپتر بکشان.
کدام راهحل برای معادلهٔ داده شده اشتباه است؟
گروگان در طبقهٔ آخر. معادله: $$ \frac{x+2}{3} = 4 $$. $$ x $$ را بیاب تا هلیکوپتر بنشیند.
معادلهٔ $$ 5(x-2) = 2x + 8 $$ را قدمبهقدم در Canvas بازنویسی کن.
معادلهٔ فوقسری: $$ 3(2x - 1) + 4 = 5x + 2 $$. $$ x $$ را پیدا کن.
هر پاسخ درست ۱۰ امتیاز دارد. دقت کن که دشمن اطلاعات غلط هم منتشر میکند.
۱. جواب معادلهٔ $$ x - 5 = 3 $$ چیست؟
۲. در معادلهٔ $$ 2x + 6 = 14 $$، $$ x $$ کدام است؟
۳. پس از انتقال در $$ 3x - 1 = 2x + 4 $$، معادله چیست؟
۴. $$ 4(x - 2) = 8 $$، $$ x $$ چیست؟