قرارگاه ضداطلاعات | مأموریت: شکستن کدهای انفجاری دشمن
فرماندهان جوان، تا اینجا یاد گرفتیم چطور با یک پرانتز ساده (عملیات سنگرشکن) مقابله کنیم. اما دشمن حالا پیچیدهتر عمل میکند. آنها دو سنگر را به هم چسباندهاند — یعنی دو پرانتز که در هم ضرب شدهاند، مثل $$ (x+2)(x+3) $$. برای نابودی این استحکامات، به یک تاکتیک چهارمرحلهای به نام FOIL نیاز داریم. این نام مخفف چهار کلمه است که دقیقاً به ما میگویند کدام جملات را باید هدف قرار دهیم:
بیایید با یک مثال ساده شروع کنیم. دشمن دو پرانتز را اینطور کنار هم گذاشته: $$ (x+2)(x+3) $$. ما باید چهار حملهٔ جداگانه انجام دهیم:
حملهٔ اول (F): $$ x \times x = x^2 $$ (اولیها را در هم میکوبیم).
حملهٔ دوم (O): $$ x \times 3 = 3x $$ (جنگندهٔ چپ به هدف راست شلیک میکند).
حملهٔ سوم (I): $$ 2 \times x = 2x $$ (نیروی زمینی چپ به هدف هوایی راست).
حملهٔ چهارم (L): $$ 2 \times 3 = 6 $$ (دو نگهبان آخر یکدیگر را نابود میکنند).
حالا بقایای این حملات را جمعآوری میکنیم: $$ x^2 + 3x + 2x + 6 $$. سپس جملات متشابه ($$ 3x $$ و $$ 2x $$) را ادغام میکنیم و نتیجهٔ نهایی: $$ x^2 + 5x + 6 $$.
نکتهٔ حیاتی: FOIL فقط یک ترتیب است، نه یک فرمول جادویی. در واقع همان قانون توزیع است که دو بار اجرا میشود. اما چون در میدان جنگ باید سریع عمل کنیم، FOIL کمک میکند هیچ جملهای از قلم نیفتد.
دشمن پرانتزهای $$ (x+4)(x+1) $$ را مستقر کرده. با FOIL آن را منهدم کن و نتیجه را وارد کن.
حالا فرض کنید دشمن دو سنگر کاملاً یکسان را روی هم سوار کرده: $$ (x+3)^2 $$. این یعنی $$ (x+3)(x+3) $$. اگر با FOIL بازش کنیم:
اما یک میانبُر فوقالعاده وجود دارد که فرماندهان باتجربه از آن استفاده میکنند. به این الگو دقت کن:
در مثال $$ (x+3)^2 $$، داریم: $$ a=x $$ و $$ b=3 $$. پس طبق فرمول: $$ x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9 $$. دیدی چقدر سریعتر شد؟
بیا یک مثال دیگر بزنیم: $$ (x+5)^2 $$. اینجا $$ a=x, b=5 $$. پس: $$ x^2 + 2(x)(5) + 5^2 = x^2 + 10x + 25 $$. باز هم میبینی که جملهٔ وسط ($$ 10x $$) حیاتی است.
$$ (x+6)^2 $$ را با استفاده از اتحاد سریع باز کن.
اگر دشمن به جای جمع، از تفریق استفاده کند، یعنی $$ (x-4)^2 $$، چه میشود؟ این هم یعنی $$ (x-4)(x-4) $$. با FOIL حمله میکنیم:
دقت کن که $$ -4 \times -4 = +16 $$ (منفی در منفی = مثبت، مثل دو مین که همدیگر را خنثی میکنند).
مثال: $$ (x-5)^2 $$ → $$ a=x, b=5 $$ → $$ x^2 - 2(x)(5) + 5^2 = x^2 -10x + 25 $$.
$$ (x-7)^2 $$ را باز کن.
حالا به یکی از زیباترین و مرگبارترین ترفندهای جبر میرسیم. دشمن دو پرانتز میسازد که یکی مجموع و دیگری تفاضل همان دو عدد است: $$ (x-5)(x+5) $$. اگر FOIL را اجرا کنیم:
ببین! جملات وسط ($$ +5x $$ و $$ -5x $$) یکدیگر را کاملاً نابود کردند و فقط $$ x^2 $$ و $$ 25- $$ باقی ماند. این پدیده آنقدر مهم است که اسمش را گذاشتهاند «اتحاد مزدوج» یا «تفاضل مربعها».
این فرمول مثل یک موشک نقطهزن است که مستقیماً قلب دشمن را هدف میگیرد. مثال: $$ (x-9)(x+9) = x^2 - 81 $$. چقدر سریع و تمیز!
$$ (x-8)(x+8) $$ را با اتحاد مزدوج نابود کن.
دشمن همیشه به این سادگی عمل نمیکند. گاهی پرانتزها شامل ضرایب و جملات پیچیدهترند. اما نگران نباش — FOIL هنوز هم کار میکند! فقط باید دقیقتر باشی.
F: $$ 2x \times x = 2x^2 $$
O: $$ 2x \times (-3) = -6x $$
I: $$ 1 \times x = x $$
L: $$ 1 \times (-3) = -3 $$
جمعبندی: $$ 2x^2 -6x + x -3 = 2x^2 -5x -3 $$
F: $$ 3x \times x = 3x^2 $$
O: $$ 3x \times 4 = 12x $$
I: $$ -2 \times x = -2x $$
L: $$ -2 \times 4 = -8 $$
نتیجه: $$ 3x^2 + 10x -8 $$
همیشه بعد از FOIL، جملات متشابه را ادغام کن تا کار تمام شود.
کدام یک $$ (x-3)^2 $$ را درست باز کرده؟
دشمن $$ (2x+3)(x-2) $$ را در جاده کار گذاشته. خنثی کن.
با اسلایدرها a و b را در $$ (x+a)(x+b) $$ تغییر بده و نتیجه را ببین.
نتیجه: x²+5x+6
در $$ (x-4)(x+4) $$، جملهٔ وسط چند است؟
$$ (x+\_\_)^2 = x^2 + 10x + 25 $$
$$ (2x-3)(x+4) $$. فقط ۱۵ ثانیه!
15
سیگنال: «اولی ۳، دومی ۵-». $$ (x+3)(x-5) $$ را باز کن.
نتیجهٔ $$ (x+2)(x+3) $$ را به انبار مهمات بکشان.
کدام باز کردن پرانتز نادرست است؟
$$ (3x-2)(x+5) - (x+1)^2 $$ را کاملاً ساده کن.
هر پاسخ درست ۱۰ امتیاز دارد. با دقت انتخاب کن.
۱. $$ (x+6)(x+2) $$ چیست؟
۲. $$ (x-3)^2 $$ چیست؟
۳. $$ (x-5)(x+5) $$ چیست؟
۴. $$ (2x+1)(x-3) $$ چیست؟